Векторы на прямой и их отношение

 

1. Основные понятия

Векторы, как известно из школьной геометрии, изображаются направленными отрезками. Если вектор изображается направленным отрезком с началом А и концом В, то это записывают так: = . Обычно при этом вектор называют вектором , точку А называют его началом, а точку В – концом; длина направленного отрезка называется длиной, или модулем вектора (обозначается или ). Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается ; начало и конец нулевого вектора совпадают. Вектор единичной длины называется единичным вектором, или óртом. Всякий вектор, кроме нулевого, характеризуется не только длиной, но и направлением.Направленные отрезки, одинаковые по длине и направлению, изображают один и тот же вектор. Векторы, имеющие одинаковое направление, называют сонаправленными; имеющие противоположные направления – противонаправленными. Противонаправленные векторы, одинаковые по длине, называются противоположными; вектор, противоположный вектору , обозначается – .

Если два вектора можно изобразить направленными отрезками, лежащими на одной прямой, то векторы называются коллинеарными. Отсюда следует, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они либо сонаправлены, прямой либо противонаправлены.

Если три вектора можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, то векторы называются компланарными. Отсюда следует, что два коллинеарных вектора компланарны с любым вектором.

2. Линейные операции над векторами

Линейные операции – это сложение векторов и умножение вектора на число.

Пусть даны векторы и . Найти сумму этих векторов можно двумя способами.

1. Правило треугольника. Пусть = , = ; тогда + = .

2. Правило параллелограмма. Пусть = , = , ABDC – параллелограмм; тогда + = .

Таким образом, при использовании правила треугольника начало вектора совмещают с концом вектора , а при использовании правила параллелограмма – с началом вектора .

Сложение векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам сложения чисел:

1. + = + ;

2. +( + ) = ( + )+ ;

3. + = ;

4. +(– ) = .

Пусть даны вектор и число k. Произведение k определяется следующим образом: если = или k = 0, то k = ; если ¹ и 0, то = , причем векторы k и сонаправлены при k >0 и противонаправлены при k <0. В частности, . – единичный вектор, сонаправленный с вектором ; его называют ортом вектора .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. k(m ) = (km) ;

2. (k+m) = k +m ;

3. k( + ) = k + k ;

4. 1. = .

Замечание. Пусть два вектора коллинеарны. Если хотя бы один из них нулевой, то он получается умножением второго вектора на нуль. Если ненулевые векторы и сонаправлены, то, например, = . ; если противонаправлены – то = – .. Итак,

два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.

 

Базисом плоскости будем называть любую пару неколлинеарных векторов этой плоскости. Если пара ( ; ) – базис, то любой вектор плоскости можно единственным образом представить в виде = х +у ; такое представление называется разложением вектора по базису, а пара чисел (х;у) – координатами вектора в этом базисе.

Базисом пространства будем называть любую тройку некомпланарных векторов. Если тройка ( ; ; ) – базис, то любой вектор можно единственным образом представить в виде = х +у +z (разложение вектора по базису). В этом случае координатами вектора в этом базисе называется тройка чисел (х;у;z).

 

3. Координаты вектора в прямоугольной декартовой

системе координат

Возьмем в пространстве три попарно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке; на каждой оси выбранное направление будем называть положительным. Фиксируем единицу длины и на каждой оси выберем единичный вектор, имеющий положительное направление. Точку пересечения осей обозначим О и будем называть началом координат; одну из осей обозначим Ох и будем называть осью абсцисс; вторую ось обозначим Оу и будем называть осью ординат; третью ось обозначим Оz и будем называть осью аппликат. Единичные векторы осей обозначим соответственно , и ; их называют базисными ортами.

Поскольку базисные орты не компланарны, то ( ; ; ) – базис пространства. Пусть М – произвольная точка пространства, тогда вектор единственным образом можно разложить по указанному базису. Координаты (х;у;z) вектора в базисе ( ; ; ) называют координатами точки М. При этом пишут М(х;у;z).

Определенная таким образом система координат называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Замечание. Тройка некомпланарных векторов ( ; ; ) называется правой тройкой, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой тройкой. В определении прямоугольной декартовой системы координат не было оговорено, в каком порядке берутся оси. В дальнейшем мы будем считать этот порядок таким, что тройка ( ; ; ) является правой тройкой. В этом случае и система координат называется правой.

Пусть – произвольный вектор в пространстве. Его координаты в базисе ( ; ; ) будем называть его координатами в прямоугольной декартовой системе координат, или просто координатами вектора в пространстве. Если = ax +ay +az , будем писать =(ax;ay;az). При этом ax= .cosa, ay= .cosb, az= .cosg, где a – угол между вектором и положительным направлением оси Ох, b – угол между вектором и положительным направлением оси Оy, g – угол между вектором и положительным направлением оси Оz. Так как эти углы полностью определяют направление вектора, то их косинусы называются направляющими косинусами.

Перечислим некоторые свойства координат вектора в пространстве.

1о. При сложении векторов их координаты складываются; при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

2о. Если = , A(х1;у1;z1), B(х2;у2;z2), то ax= х2–х1, ay= у2–у1, az= z2–z1.

3о. Если =(ax;ay;az), то 2=ax2+ay2+az2.

4о. cos2a+ cos2b+ cos2g = 1.

5о. Ненулевые векторы =(ax;ay;az) и =(bx;by;bz) коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: = = .

Примеры. 1) Пусть точка М(x,y,z) лежит на отрезке АВ, причем АМ:МВ=l>0, A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB). Найдем координаты точки М.

Имеем: = (xxA;yyA;zzA), =(x;y;z) (по свойству 2о). Векторы и сонаправлены, причем =l ; значит, = l . Тогда по свойству 1о получаем: . Решая эту систему, находим: . По этим формулам вычисляются координаты точки, которая делит отрезок АВ в данном отношении l.

2) Применим полученные формулы к вычислению координат середины М отрезка АВ. В этом случае l=1, поэтому координаты середины отрезка АВ. ·

4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число ., которое вычисляется по следующему правилу:

если = или = , то . =0;

если ¹ и ¹ , то . = . cosj, где j – угол между векторами и .

Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора и обозначают 2.

Перечислим свойства скалярного произведения.

1. 2³0, причем 2=0 тогда и только тогда, когда = .

2. . = ..

3. (k ) = k( ).

4. ( + ) = . + ..

5. Если ¹ и ¹ , то cosj = .

6. Если ¹ и ¹ , то . =0 тогда и только тогда, когда ^ .

Пусть векторы заданы своими координатами: =(ax;ay;az), =(bx;by;bz). Тогда их скалярное произведение можно найти по формуле:

. = axbx+ayby+azbz.

Из этой формулы можно получить формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами:

cosj = .

Примеры. 1) Угол между векторами и равен 60о, =2, =1. Найдем длину вектора 2 –3 : = = = =

= = .

2) Найдем внутренний угол А в треугольнике АВС, если А(1;2;–1), В(5;5;1), С(13;18;20).

Указанный угол – это угол между векторами и , поэтому cosÐA= . Найдем координаты этих векторов: =(4;3;2), =(12;16;21). Тогда

cosÐA = = = , то есть ÐA = arccos

 

5. Определители второго и третьего порядка

Будем называть определителем второго порядка число, обозначаемое и равное ad–bc.

Например, =2.5–3.4=10–12= –2; =2.5–(–3).4=10+12=22;

=2.(–6)–(–3).4= –12+12=0.

Определителем третьего порядка будем называть число, обозначаемое и равное a1a2 +a3.

Например, = 1. – 2. +3. =1.(–5–6)–2.(–4–0)+3.(4–0) =

= –11+8+12 = 9.

6. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор ´ , который находится по следующему правилу:

если и коллинеарны, то ´ = ;

если и неколлинеарны, то

ï ´ ï= sinj, где j – угол между векторами и ,

´ ^ , ´ ^ , тройка ( ; ; ´ ) – правая.

Из определения следует, что вектор ´ перпендикулярен плоскости, содержащей векторы и , причем длина вектора ´ равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Перечислим свойства векторного произведения.

1. ´ = .

2. ´ = –( ´ ).

3. ´(k ) = k( ´ ).

4. ´( + ) = ´ + ´ и ( + = ´ + ´ .

5. и коллинеарны тогда и только тогда, когда ´ = .

Пусть теперь векторы заданы своими координатами: =(ax;ay;az), =(bx;by;bz). Тогда координаты их векторного произведения можно найти по формуле:

´ = ( ; ; ).

Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно найти по формуле:

S = .

 

Пример. Найдем площадь треугольника АВС, если А(1;2;–1), В(5;5;1), С(13;18;20).

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , а значит, равна половине модуля вектора ´ . Так как =(4;3;2), =(12;16;21), то ´ =( ; ; )=

=(3.21–2.16; 2.12–4.21; 4.16–3.12)=(63–32; 24–84; 64–36)=(31; –60; 28). Поэтому площадь треугольника можно найти по формуле:

S = = =

 

7. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов , и называется число , равное скалярному произведению ( ´ ). Перечислим свойства смешанного произведения.

 

1. = 0 тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

2. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов

равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

3. Знак смешанного произведения некомпланарных векторов

зависит от того, правую или левую тройку они образуют:

> 0 тогда и только тогда, когда тройка ( , , ) – правая;

< 0 тогда и только тогда, когда тройка ( , , ) – левая.

4. = = .

5. = – .

Если векторы заданы своими координатами: =(ax;ay;az), =(bx;by;bz), =(cx;cy;cz), то смешанное произведение можно найти как определитель третьего порядка:

= .

Примеры. 1) Докажем, что векторы = (1;2;3), = (4;5;6) и = (7;8;9) компланарны. Для этого найдем их смешанное произведение:

= = 1. – 2. +3. =1.(45–48)–2.(36–42)+3.(32–35)= –3+12–9=0.

Значит, векторы компланарны, что и требовалось доказать.

2) Найдем объем параллелепипеда, построенного на векторах = (1;2;3), = (4;5;6) и = (0;1;–1), и определим, правую или левую тройку векторов они образуют. Смешанное произведение векторов = = 1. – 2. +3. =1.(–5–6)–2.(–4–0)+3.(4–0) = –11+8+12 = 9. Значит, > 0, поэтому векторы образуют правую тройку. Объем параллелепипеда равен ï ï= ï9ï= 9. ·

 


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора С годовщиной свадьбы для родителей 31 год

Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение Векторы на прямой и их отношение

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ